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等分布荷重を受ける片持ちはりの SFD,BMD,たわみ曲線の計算・グラフ化

2020年8月11日更新

はじめに

本稿では,等分布荷重を受ける片持ちはりのせん断力図(SFD),曲げモーメント図(BMD),たわみ曲線を MATLABOctave により計算し,グラフ化する方法について述べる。

等分布荷重を受ける片持ちはり

等分布荷重を受ける片持ちはり

概要

等分布荷重*1を受ける片持ちはり*2(cantilever)の

  • せん断力(shearing force)
  • 曲げモーメント(bending moment)
  • たわみ(deflection)

を計算する。

計算結果に基づき,同プログラムでは,

  • せん断力図(SFD : Shearing Force Diagram)
  • 曲げモーメント図(BMD : Bending Moment Diagram)
  • たわみ曲線(deflection curve)

のグラフを描画する。

等分布荷重を受ける片持ちはりの「せん断力」「曲げモーメント」「たわみ」の計算過程,グラフの説明は,[わかりやすい・詳細]等分布荷重を受ける片持はりのたわみでわかりやすく,そして詳細に解説する。

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検討モデル

等分布荷重を受ける片持ちはりのせん断力曲げモーメントたわみを検討するモデルを下図に示す。

等分布荷重を受ける片持ちはり

等分布荷重を受ける片持ちはり

片持ちはりは,回転も移動もできない固定支点で支持される。

はりの先端を $xy$ 座標の原点とし,$x$ については固定支持方向を正,$y$ については鉛直下向きを正とする。

また,はりの長さは $l$ とし,想定する荷重 $w(x)$ は単位長さ当たり $q$ の等分布荷重とする。

プログラムのソースコード

xx=0:1:1000;
ll=1000;%[mm]
qq=0.1;%[N/mm]
EE=200000;%[N/mm2]
Iz=3000;%[mm4]

Qx=-qq*xx;
Mx=-qq/2*xx.^2;
yx=qq/24/EE/Iz*(xx.^4-4*ll^3*xx+3*ll^4);

figure(1);%せん断力図
plot(xx,Qx);
xlabel('x [mm]');ylabel('shearing force [N]');

figure(2);%曲げモーメント
plot(xx,Mx);
xlabel('x [mm]');ylabel('bending moment [N・mm]');

figure(3);%たわみ
plot(xx,yx);
xlabel('x [mm]');ylabel('y [mm]');

設定条件

等分布荷重 0.1 [N/mm] を受ける片持ちはり(長さ 1,000 [mm])のせん断力,曲げモーメント,たわみを計算している。

なお,たわみについては,片持ちはりの縦弾性係数 200,000 [N/mm2],断面二次モーメント 3,000 [mm4] として計算している。

グラフの説明

本プログラムで出力した SFD,BMD,たわみ曲線のグラフを示す。

せん断力図(SFD)

はりを先端から長さ $x$ の位置で切断すると,長さ $x$ の部分には大きさ $qx$ の荷重が下向きに作用し,これが右側断面に作用するせん断力 $Q$ とつり合っている。

\[ Q=-qx \]

等分布荷重を受ける片持ちはりのせん断力図(SFD)を下図に示す。
せん断力は,単純減少する。

等分布荷重を受ける片持ちはりの SFD

等分布荷重を受ける片持ちはりの SFD

曲げモーメント図(BMD)

曲げモーメント $M$ は次式で与えられる。

\[ M=-\frac{q^2}{2}x^2 \]

等分布荷重を受ける片持ちはりの曲げモーメント図を下図に示す。
曲げモーメントは,二次関数で単純減少する。

等分布荷重を受ける片持ちはりの BMD

等分布荷重を受ける片持ちはりの BMD

たわみ曲線

たわみ $y$ は次式で与えられる。

\[ y(x)=\frac{q}{24EI_z}(x^4-4l^3x+3l^4) \]

等分布荷重を受ける片持ちはりのたわみ曲線を下図に示す。
たわみ曲線は,四次関数で単純減少し,片持ちはりの支持点ではたわみとたわみの傾きは 0 となる。

等分布荷重を受ける片持ちはりのたわみ曲線

等分布荷重を受ける片持ちはりのたわみ曲線
直感で理解する! 構造力学の基本

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*1:部材に均等に分布して作用する荷重

*2:片側が回転も移動もできない固定支点で支持されるはり